A fração geratriz é um conceito matemático importante que representa números irracionais e decimais periódicos. Neste artigo, vamos explorar como calcular facilmente a fração geratriz e fornecer exemplos práticos para facilitar o entendimento. Aprender a calcular a fração geratriz pode ajudar a simplificar a matemática e tornar o processo mais fácil de compreender.
Principais pontos abordados neste artigo:
- O que é uma fração geratriz
- Como calcular a fração geratriz
- Exemplos de fração geratriz
- Fração geratriz e fração irredutível
- Conclusão
O que é uma fração geratriz?
Uma fração geratriz é uma representação decimal periódica de um número irracional. Um número irracional é um número que não pode ser expresso como uma fração simples. Para calcular a fração geratriz, é necessário identificar o padrão de repetição na parte decimal do número. Esse padrão é indicado colocando um número entre parênteses e repetindo-o indefinidamente. Por exemplo, a fração geratriz para o número 1/3 é 0,3333…, onde o 3 é repetido infinitamente.
“Uma fração geratriz é uma forma de representar um número irracional como uma fração matemática.”
– Matemático Renato Duarte
Para visualizar melhor o conceito de fração geratriz, veja o exemplo a seguir:
Exemplo:
Considere o número irracional conhecido como “Pi”, que é aproximadamente 3,141592653589793238… O padrão de repetição começa a partir do segundo dígito decimal “4”. Portanto, a fração geratriz para “Pi” seria:
| Fração Geratriz | 0,1415 |
|---|---|
| Padrão de Repetição | (1415) |
Como mostrado no exemplo acima, identificar e compreender a fração geratriz é uma habilidade essencial para o cálculo de fração periódica.
Agora que você sabe o que é uma fração geratriz, vamos entender como calcular essa representação decimal periódica no próximo tópico.
Como calcular a fração geratriz?
Para calcular a fração geratriz de um número, siga as etapas a seguir:
-
Escreva o número como uma fração.
-
Subtraia a parte inteira do número.
-
Multiplique o número por 10 elevado ao número de casas decimais do número.
-
Escreva o resultado como uma fração e simplifique, se possível.
Essas etapas simples permitem que você calcule facilmente a fração geratriz de qualquer número. Vamos ver um exemplo prático para entender melhor.
Suponha que queremos calcular a fração geratriz do número 0,6666…, onde o 6 é repetido infinitamente.
1. Escrevemos o número como uma fração: 0,6666… = 6/10 + 6/100 + 6/1000 + …
2. Subtraímos a parte inteira do número: 0,6666… – 0 = 0,6666…
3. Multiplicamos o número por 10 elevado ao número de casas decimais: 0,6666… * 10 = 6,6666…
4. Escrevemos o resultado como uma fração e simplificamos, se possível: 6,6666… = 6/10 + 6/100 + 6/1000 + … = 6/10 * (1/1 – (1/10)n) = 2/3
Portanto, a fração geratriz do número 0,6666… é 2/3. Seguindo as etapas acima, você pode calcular facilmente a fração geratriz de qualquer número decimal periódico. Agora que sabemos como calcular a fração geratriz, vamos ver mais exemplos práticos no próximo tópico.
Exemplo prático: Fração geratriz do número 0,6666…
| Número | Fração Geratriz |
|---|---|
| 0,6666… | 2/3 |
Exemplos de fração geratriz
Aqui estão alguns exemplos de como calcular a fração geratriz de números decimais periódicos:
Exemplo 1: Fração geratriz de 0,3333…
Para calcular a fração geratriz de 0,3333…, podemos considerar o número como x e multiplicar ambos os lados da equação por 10:
10x = 3,3333…
Em seguida, subtraímos x da equação:
10x – x = 3,3333… – 0,3333…
Isso resulta em:
9x = 3
Dividindo ambos os lados por 9, obtemos o valor de x e, consequentemente, a fração geratriz:
x = 3/9 = 1/3
Portanto, a fração geratriz de 0,3333… é 1/3.
Exemplo 2: Fração geratriz de 0,142857142857…
Novamente, consideremos o número como x e multipliquemos por 10:
10x = 1,42857142857…
Subtraindo x da equação, temos:
10x – x = 1,42857142857… – 0,142857142857…
O resultado é:
9x = 1,28571428571…
Dessa vez, dividindo ambos os lados por 9, encontramos:
x = 1,28571428571/9
Para simplificar a fração, podemos dividir o numerador e o denominador por 7:
x = 0,183673469387755102040816326530612244898/1
A fração simplificada é:
x = 13/71
Assim, a fração geratriz de 0,142857142857… é 13/71.
Exemplo 3: Fração geratriz de 0,666…
Seguindo o mesmo processo anterior, escrevemos o número como x e multiplicamos por 10:
10x = 6,666…
Subtraindo x da equação, temos:
10x – x = 6,666… – 0,666…
O resultado é:
9x = 6
Dividindo ambos os lados por 9, encontramos:
x = 6/9 = 2/3
Dessa forma, a fração geratriz de 0,666… é 2/3.
| Número Decimal Periódico | Fração Geratriz |
|---|---|
| 0,3333… | 1/3 |
| 0,142857142857… | 13/71 |
| 0,666… | 2/3 |
Muitos outros exemplos de frações geratrizes podem ser encontrados, e a aplicação desse conceito pode auxiliar na resolução de problemas matemáticos e na conquista de uma compreensão mais profunda da matemática.
Fração geratriz e fração irredutível
Uma fração geratriz não necessariamente é uma fração irredutível. Fração irredutível é aquela em que o numerador e o denominador não têm fatores comuns além de 1. Para determinar se uma fração geratriz é irredutível, é necessário calcular o máximo divisor comum (MDC) entre o numerador e o denominador. Se o MDC for igual a 1, a fração é irredutível. Caso contrário, a fração pode ser simplificada.
| Fração Geratriz | Fração Irredutível |
|---|---|
| 1/3 | 1/3 |
| 4/9 | 4/9 |
| 5/6 | 5/6 |
| 7/12 | 7/12 |
| 9/15 | 3/5 |
| 8/16 | 1/2 |
Cálculo do MDC
Para calcular o MDC entre o numerador e o denominador de uma fração geratriz, é possível utilizar o algoritmo de Euclides, que consiste em dividir o maior número pelo menor repetidamente até que o resto da divisão seja igual a zero. O último divisor utilizado é o MDC entre os números.
No exemplo da fração 9/15, o numerador 9 e o denominador 15 têm um MDC de 3. Portanto, a fração geratriz 9/15 pode ser simplificada para 3/5, que é uma fração irredutível.
Conclusão
Calcular a fração geratriz de números irracionais e decimais periódicos pode ser uma habilidade útil na matemática. Ao entender os passos para calcular a fração geratriz e examinar exemplos práticos, fica mais fácil visualizar como representar esses números de forma mais simples e compreensível.
Lembre-se de que nem toda fração geratriz é irredutível e que é importante considerar a simplificação da fração quando possível. Com essas habilidades, você estará mais preparado para lidar com problemas que envolvem frações geratrizes.
FAQ
O que é uma fração geratriz?
Uma fração geratriz é uma representação decimal periódica de um número irracional. Ela é indicada pelo padrão de repetição na parte decimal do número, que é colocado entre parênteses e repetido indefinidamente.
Como calcular a fração geratriz?
Para calcular a fração geratriz de um número, siga as etapas abaixo:
1. Escreva o número como uma fração.
2. Subtraia a parte inteira do número.
3. Multiplique o número por 10 elevado ao número de casas decimais.
4. Escreva o resultado como uma fração e simplifique, se possível.
Quais são alguns exemplos de fração geratriz?
Aqui estão alguns exemplos de como calcular a fração geratriz de números decimais periódicos:
O que significa fração irredutível?
Uma fração irredutível é aquela em que o numerador e o denominador não têm fatores comuns além de 1. Para determinar se uma fração geratriz é irredutível, é necessário calcular o máximo divisor comum (MDC) entre o numerador e o denominador. Se o MDC for igual a 1, a fração é irredutível.